科学教育问题
机会（之一）
作者：张绍堂
连载于1993年7月~1994年3月《中学课程辅导》的《联想空间》专栏。

（一）

刘校长又一次看了我的介绍信，重新抬起头来久久地盯这我。出于礼貌，我慢慢低下头，两只手局促地搓来搓去。“您就是来我校工作的新教师？”虽然我很快地嗯了一声，但心中暗想：“明知故问，介绍信上不是明明写着嘛！尤其一个您字，听起来真刺耳……”

我正在胡思乱想，刘校长又说：“本来有一个班急等人去接，让我们研究研究再说。”

我正想说请校长领我去这个班看一看，脑子里突然冒出了一句话：不知深浅，切勿下水！这是我在一次失败之后的经验总结。想到这儿，我小声对校长说：“如果方便的话，请刘校长介绍介绍这个班的情况。”

“唉，这个班已经连续气走了好几个班主任老师，科任老师就更别说了，进了教室经常上不成课。有一位女老师，第一次走进教室，坐在第一排的一个同学先冲着她闻了闻，又将鼻子往前伸了伸，然后抬起手来扇了扇，深深地吸了一口气说：‘味道好极了！’老师正想发作，似乎是开运动会时响了一枪，班内许多同学都用相同的方式闻了闻，‘味道好极了！’的声音响成一片，这位老师一句话也没讲就冲出教室，并发誓再也不进这个班。事后她对人讲，最可恶的是当时居然没有一个人笑！还有一位老师，第一天终于坚持了下来，他给同学们讲了学习的重要性，中学阶段在人的一生中的关键作用，还有祖国的需要，人民的希望，全人类的前途和命运，等等。虽然下课以后才发现自己背上贴着一张纸‘注意！道理妙极了！’的纸条，而且经好事者考察纸条上胶水的干湿程度后断定，纸条是上课不久就贴在背上的，但这位老师仍对其他老师讲，捣乱的学生毕竟是少数。第二天他信心百倍地走进教室一看，大大的教室中，只孤零零地坐着一个人，这个学生趴在桌子上动也不动，老师走过去轻轻摇了摇他，只见他极不情愿地抬起头，先用手抹了抹鼻子里流下来的两串鼻涕，而后顺手从怀里掏出一叠纸条说：‘同学们都病了，这是他们的请假条！’这位老师只好垂头丧气地把这位感冒的同学送回家，一返校就打了退堂鼓。”

刘校长说到这儿，又深深叹了一口气说：“您是一位工作时间不长的新手，这样的班怎么能推给您！”

听了刘校长的一席话我联想到上中学期间的一件事：在一次全市性的数学竞赛团体赛前夕，我校代表队中的一名选手因病不能参加，老师在班上问哪位同学有勇气报名仓促上阵。当时没有一位同学站出来，下课后老师找我谈话，开口就讲：“给你一个成功的机会要不要？参加团体赛，考不好，别人也不会说什么，因为毕竟没有参加考前的系统训练，但万一考好了，这可是一次颇有影响的事情啊！”在老师的启发和鼓励下，我参加了这次竞赛活动，并与其他同学一道为学校争得了名次。如果说创立了解析几何的大数学家笛卡尔（Rene Descartes,法国人，1596—1650）是在解出一份公开征解的数学题后发现了自己的数学才华，而我却是在这次参赛后，激发了学习数学的兴趣，走上了从事和研究数学教学的道路。想到这儿，我毫不犹豫地对校长说：“谢谢学校给我这次机会，什么时候接这个班？”

听到我的话,刘校长狐疑地看可看我，从桌子上拿起一个本送到我面前：“不在乎一两天，先拿学籍薄熟悉熟悉班内的同学吧！”

（二）

再有几个小时就要和班内的学生见面了，我仍然坐在桌子前一筹莫展。沉沉的夜色中只听到单调乏味的嘀嗒嘀嗒的钟声。我突然想起一本书上讲过，当你长久致力于某个问题却又不得要领时，可以换个环境轻松轻松，往往可以豁然开朗。想到这儿，我将扔在床上的衣服披在身上，走入沉沉的夜色中，但愿能体会到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的欣喜。

望着天际闪闪的星光，脑海中仍然捕捉着解决问题的灵感，不论如何努力，心情丝毫没有轻松的感觉，又同自己挣扎了几个回合，只好自我解嘲地说：“赶快抓紧睡一觉，但愿能梦到一个好办法。”

第二天早早就起了床，虽然洗了脸，头上又冲了凉水，但脑子仍懵懵懂懂理不出个头绪，这时只好横下一条心：“由它去吧！反正校长一再强调先试一试。”想到这儿，我心平气和地吃了饭，一看时间还来得及，于是推着自行车慢慢往学校走去。

进了校长办公室，望着刘校长询问的眼神，突然有了主意：“对！从特殊性入手！：”想到这儿，我对校长说：“班内有没有全校闻名的人物？听到我的问话，校长先是一怔，然后脱口而出：“有！有！马贵勇就是一个，把教室里的日光灯都用弹弓打破了，给女老师提包里装上蛇！还有……”刘校长说到这儿，突然停了下来，干咳了一声后又继续说：“不过这些都是恶作剧，这个孩子除了有股桀骜不驯的劲儿外，本质上还不坏……。”

预备铃响了，刘校长领着我去教室，俩人站在窗户外，刘校长悄悄指着一个学生对我说：“看见了吗？那就是马贵勇。”我望着他正襟危坐的样子，怎么也不能把刚才刘校长讲的那些事情和他联系起来。

铃声一落，刘校长笑着对我说：“怎么！我进去弹压弹压，再给你做个介绍？”我强装出轻松的样子说：“迟早总要一个人进门，落水人得救靠自己，再说给同学一个意外的感觉也好嘛！”听了我的话，刘校长紧紧捏着我的手说：“祝你成功。”

我推门走进教室，还没有在讲台上站稳，突然觉得有一团东西向我飞来，我急忙往旁边一闪，“叭”的一声，一团湿漉漉的纸浆贴在黑板上。我重新在讲台上站好，两眼严肃的在全班同学身上扫来扫去，整个教室静极了。突然！从窗外飞进一只大花粉蛾，听着蛾子的嗡嗡声，一下有了主意，我先轻轻走下讲台，把窗户关好，等蛾子落在墙上后，看着马贵勇轻轻地说：“听说你弹弓玩得很好，能不能把飞蛾打下来？”边说，边给他桌子上扔过去一支粉笔。

在全班同学目光的注视下，马贵勇默默地从课桌里取出弹弓，安上一个粉笔头，“啪”的一声，打偏了，粉蛾又嗡嗡地飞了起来，我拿起一个粉笔头，眼睛仍扫视全班，凭着手感，用指甲将粉笔头加工成一个小圆球，然后示意马贵勇把弹弓递过来。安上粉笔头后，心中默默念道：“成败在此一举！”

“啪‘的一声，随着声音粉蛾落了下来。直到这时，教室里才有了声音。而马贵勇也长叹了一口气，悄悄低下了头。

稍停了片刻，我先大声宣布了从今天起，我正式担任这个班的班主任和数学老师，接着又在黑板上大大地写出了我的姓名。然后说：“家长和大多数老师都严格禁止打弹弓，但今天马贵勇同学的弹弓却立了一功，同学们都知道，刚才打死的粉蛾，它很快就会在树上产卵，卵孵化为幼虫后将会啃食树木，变成害虫。今天马贵勇的偶然失误，我的偶然成功，都属于偶然的一类人，至于弹弓嘛！我不反对同学们玩，不过我提两个要求：1、不能闯祸；2、都要达到小马和我的水平。”说到这儿，我话锋一转：“今天接咱们班的班主任工作，给我提供了工作的机会，我从心里感谢大家。飞蛾事件是良好的开端，它的牺牲也给我们全班提供了机会，我决心从现在起，一切从零开始，下一节课我们就从头讲起，让我们都共同珍惜这次机会。至于其它课程，如果同学们信得过我，有什么问题随时来找，咱们共同商量解决。“

以后的情况如何呢？请大家不要着急，容我下次再慢慢道来。

（三）

晚饭后我正在收拾碗筷，马贵勇推门走了进来。我见他身上还背着书包，忙问：“下学后还没有回家？”“下学后我一直悄悄跟着你进家，又悄悄跟着你打回来饭，在窗外悄悄看着你吃完饭，然后就推门进来了。”

听完小马的话，我心里一沉：“他居然一直没有回家！”

我顺手一指旁边的椅子示意他坐下，然后望着他一直不说话，心想：“弄不清他的来意前，我先不开口。”

望着他游移不定的眼神，看着他欲言又止的神态，突然，脑海里闪现出一件往事。

那是文化大革命的非常时期，我响应号召在农场劳动锻炼，临时充当驯马员。其中一匹马性情暴烈，许多驯马员想了很多办法都没有驯服，不要说给它配鞍，有时往它跟前走近些都会引起一阵狂踢乱跳。一天，我又跟着马群出去放牧，看着那匹马在草原上安详地吃草的样子，脑子里突然想到：以前都说此马但大狂暴，因此各种驯服方案都是从这种前提下设计的，为什么不从问题的反面想想，假设此马实际上胆子很小呢？为了证实这种想法，我很快从身上脱下皮袄，抱着皮袄慢慢向这匹马走去，很快发现随着距离的越来越近，马的骚动越来越大，我又很快把皮袄一抖，往身上一披，就这一动作，又引起了马的一阵狂奔。回去后，我把想法向领导做了汇报，领导答应让我试一试。

开始我把它栓在马桩上，推着自行车，或拉着小平车在它前面走来走去，最初它又跳又叫，它跳得叫得累了，我仍然在旁边走来走去，几次过后，它终于安静了下来。接着又开着汽车在旁边走走停停、停停走走。经过一段的训练后，一匹“烈马”终于被驯服了，领导和同志们都称赞我判断正确。

由这件事的启发，我心里暗想，马贵勇可能胆子很小，而表象却是但小的反面，从一个极端走到了另一个极端，……。”

“张老师，同学们都说你的弹弓玩得棒极了！”小马的话打断了我的思路。“难道你找我就是为了这一句话？”我接着反问道。

小马迟疑了一下，低着头，两眼望着地面说：“张老师，我想求你一件事，不知您肯不肯？”听到这句话，我心里暗喜：有求于我就有门。但嘴上却说：“其他事情以后再说好不好？先回去吃饭，要不家里又着急了。”说完话，我不等他的回答，站起身来先走出屋门。走了几步后，我觉得他已跟在我的后面，一前一后漫无目标地走了一段后，我先开口说：“家在哪儿住，我陪你走一段。”他几步跨到我的前面，面对着我说：“你要不答应，现在就把弹弓交给您。”直到现在我才明白他找我的意思。

一路上，我先给他讲了神箭手后羿的神话故事：后羿的徒弟为了学好神箭，按师傅的要求，用线在空中挂了一个虱子，每天眯着眼睛望着虱子越望越大，终于达到了后羿的要求——将虱子望得有牛那么大，终于也学成了神箭手。接着又给他讲了养由基、李广以及水浒传中小李广花荣刻苦练箭的故事。最后说：“冰冻三尺非一日之寒啊！”

听到最后一句话，小马用一种期待的眼神望着我，我接着又说：“你自己回吧！如果你没有决心，现在就把弹弓交给我！”

小马把手中的弹弓翻来覆去看了又看，终于又放进了口袋，然后对我说：“明天见！”话音还没落，人就跑远了。

事后我才知道，小马期待地望着我,是希望我解释一下“冰冻三尺非一日之寒”是什么意思，而我却理解为他不想让我进他的家门。当然这情况是很久以后我才知道的。

（四）

飞蛾引发的弹弓事件，几乎引起学校的轩然大波，但我却认为：良好的开端，是成功的一半。班不但进去了，又和关键人物对了话。走自己的路，让他们去说吧！排除杂念和干扰后，我精心设计了平面几何的第一节复习课。

一上课，先在黑板上标出了两个点：A点、B点。在A点旁边写了一个肉字，在B点旁边写了一个狗字。然后说：“在B点的狗要吃A点的肉，可以走的路线千千万万”。边说，边在A、B两点间画各种“线”（如图1所示）。每条线一种颜色，红红绿绿甚为好看。“请同学们回答，狗走哪条路呢？”同学们几乎异口同声说：“黄颜色的路线”！

“狗的选择，给我们揭示了一个道理：在所有连接两点的连线中，线段最短。这就是平面几何课本第一册第八页第一行“公理”两个字后面的一句话。什么叫公理呢？就是通过人类在长期的各种活动中，被人们发现和公认的正确的道理，同学们都发现，对这条公理，不但人类已经认识到，连许多动物都能知道。”

话说到这儿，用眼光扫视了一遍全班同学，然后说：“谁还不了解这条公理，请举手”。这句问话，引得全班都笑起来。我又笑着说：“谁再不理解、记不住这条公理，就只能骂你……”。我的话还没有说完，就有几个同学抢着说：“连狗都不如了！”

下面我话锋一转，又笑着说：“数学问题就这么简单和奇妙，不懂时觉得难，彻底弄懂后，往往又觉得简单的可笑，下面我再画一个大家都熟悉的图形，请大家联想刚才讲的线段公理，试一试谁能发现什么关系式”。话一说完，我回身在黑板上画出一个三角形（如图二）

很多同学都意识到，“三角形任意两边的和大于第三边”这一性质是线段公理在三角形这一特殊图形中的具体体现。为了强化这一性质中“任意”两字的意义，我让同学们体会下面两句话的涵义和关系：

1． 我们这个班的全体同学都热爱学习。

2． 我们这个班的任意一个同学都热爱学习。

经过同学们的争论、研究及细心的玩味后，几乎都意识到，这两句话的意义完全相同。针对这一问题，我又给出下面一道练习题：

证明：两个奇数的平方差是4的倍数。

如何证明，有的同学可能会进行下面的探索：52-32=16；92-52=56；132-92=28……。通过这样的的检验后，能不能下结论说“两个奇数的平方差是4的倍数”正确呢？

严格来讲，经过具体考察的奇数可以下此结论，而没有经过考察的那些是不能贸然肯定的。奇数的个数有无穷多个，而人生命是有限的，因此运用每个奇数都具体去考察的办法不行，因为不能用有限的时间去考察无穷多的数字，这时，如果我们能从无穷多个奇数中任意取出两个进行考察，则有可能解决问题，而任意两个奇数，是同学们在小学阶段就可以解决的问题。至此即可发现下面的证法。

证明：任意两个奇数2n+1,2m+1(其中m,n是整数，且m>n).

∵：(2m+1)2-(2n+1)2

=(2m+1+2n+1)(2m+1-2n-1)

=4(m-n)(m+n+1)

∴：两个奇数的平方差是4的倍数。

证完问题后，我接着又说：“若把问题改为证明：两个奇数的平方差是8的倍数。就变成了一道数学竞赛题，有兴趣的同学可以自己回去作研究。”

因为到下课还有几分钟时间，我又给同学们讲了陈景润证明歌德巴赫猜想的故事。并给同学们交代了，这个问题之所以这么难，难就难在到现在为止，还没有解决如何从无穷多个素数中任取一个的问题。

（五）

上课已经十几分钟了，在这段时间里，马贵勇一直呆呆得望着窗外——是看什么东西？还是想着什么心事？

“叫他一声？”还是“暂不惊动！”在这两个念头的困扰下，连续讲错了几句话，面对同学们善意的笑声，我只好解嘲说：“心里想的是一，嘴里念的是二，手在黑板上写的是三，眼睛却看成了四，……。”我的话还未说完，同学们又一齐大笑起来。在笑声中我接着讲：“实际这个数是五。”

教室中热闹的气氛丝毫没有干扰了马贵勇。因为我对他的多次注视，引得许多同学也朝他看去。

由于正常的教学工作已不能进行，我只好高声叫道：“马贵勇！马贵勇！……”在一声高过一声的呼唤中，马贵勇终于回过头来，先疑惑地扫视了扫视周围的同学，然后用疑问的眼神看着我。

作为教师，本应严肃地批评这种不注意听讲的现象，但联想到小马近来的表现，一件小事突然浮现在眼前：一个星期天早上，我起了床顾不着洗脸、刷牙、吃早饭，趿拉着鞋坐在桌前就算起了一个题来，在想题的过程中，我拿了两个鸡蛋，放入小锅中，又特别注意加上水，放在火炉上。为了避免再出现熬干水、烧塌锅的事故发生，还将闹钟上了弦。

在闹表的铃声中，我打开锅一看，原来的事故倒没有发生，却又出现了新的情况——只见两个健身球随着水流在锅内滚来滚去。

想到这儿，我笑着问马贵勇：“刚才你想什么问题？”小马脱口而出：“刚才做广播操，第二节叫四肢运动，第七节叫全身运动。第二节全身也动，第七节四肢也动，为什么第二节不叫全身运动，而把第七节叫为全身运动呢？”

听了马贵勇的一席话，全班都哄堂大笑起来。制止了大家的笑声后，我笑着说：“一个人成才与否，与他的智力因素有重要关系，非智力因素主要指一个人的意志、情感和性格。近几年通过国内外学者的研究发现，有所创造、有所发明、有所成就的人的非智力因素有如下特点：

1.勇敢坦诚，敢于亮出自己的观点，有什么就讲什么，不怕自己的观点与大多数人观点不一致。

2.富有幽默感，多数爱好文艺。

3.有高度的自主性与独立性，不肯雷同。

4.有恒心，可以持之以恒地把注意力集中在某个问题上。

5.有旺盛的求知欲和刻苦的钻研精神。

6.有强烈的好奇心，对各种事物勤于探索。

7.知识面广，善于观察，有较强的记忆力，可能对日常琐事不怎么经心。

8.工作中讲求条理性、准确性与严格性，不满足与一知半解。

9.有丰富的想象力与直觉能力，对智力活动与游戏有广泛兴趣。

10.面对疑难问题能轻松自若，可以摆脱一切外来干扰，全神贯注于感兴趣的某个问题。

马贵勇同学刚才的表现，已初步具有了这十条中的第1，第6，第10条，这是值得庆祝的事情，至于他想的问题，只要请教请教体育老师则不难解决，我觉得对这一小事不值得费心，以后马贵勇同学，还有其他同学如果在上数学课时，有需要考虑的问题，请于课前和我打个招呼，以免在课堂上互相干扰。”

说到这儿，我又一次示意小马坐下，接着又讲：“如果你想的问题确实意义重大，咱们可以在数学课上共同攻关，众人拾柴火焰高嘛！”

这次事件以后，又在校园内引起了一场不大不小的风波，而我认为，虽然不知道这种做法有没有理论根据，或理论根据是什么，但事后的效果，如果用同学们的话来讲，就是：“我们也说不上是为什么，反正从此以后，数学课中，思想再没有开过小差。”

（六）

为了提高马贵勇的学习兴趣，增强他学好功课的自信心。我挖空心思，千方百计想了许多办法，例如，抓住他爱听故事的特点，讲了印刷工人法拉第从19岁才开始上学，经过自己不懈的努力，终于成为世界知名的电磁学专家。利用问我弹弓为什么能打那么准，乘机讲了其中数学、物理、化学知识，以激励他的学习积极性。几个月的努力过去了，他还是坚定不移地认为——我不是学数学的料子。小马的这一状况，就像一块心病，一直缠绕在我的脑海中。要知道，不改变这种状况，已进行的一切努力很可能前功尽弃。

真希望有一个契机，但愿能碰到契机。

在一节数学课上，讲解的内容是求代数式的值。我先给同学们举了几个例题，又反复讲了引入字母表示数是从具体到抽象，求代数式的值时赋予代数式中字母的具体数值是从抽象到具体，以及具体和抽象间的辨证关系。在巡查同学们做练习时，发现许多同学仍不能准确把握这一运算。巡视到马贵勇旁边时，好像他正与同桌的同学研究练习题，只见他在一张大纸上写着：2X2＋3X-5，即2×X2＋3×X－5……2其中字母写得很大。小马边讲，边把写着1/2的小纸条贴到2式的字母X上面，看到这儿，我的精神为之一振，快步走上了讲台。

“同学们，求代数式值的问题，还有许多同学不能准确把握，谁在这方面有什么好办法，请给大家介绍介绍。”

讲到这儿，我把全班扫视了一遍，最后把目光停在了马贵勇的脸上：“马贵勇！有没有什么高招？”听到我的问话，小马犹疑地发起呆来。旁边的同学拉了他一把，二人又低声嘀咕了两句，只见他突然站起来讲：“用浆糊就行！”小马的一句话，引得全班都笑起来。我示意同学们安静后，小马接着介绍：“具体步骤分三步，第一步，把引入字母后省略的运算符号恢复，例如在代数式2X2＋3X－5中，2与X2之间、3与X之间省略的乘号再写出，也就是将此代数式写为：2×X2＋3×X－5。第二步，将题目中给出的X的值写到两张小纸片上，在此题中，X=1/2，所以把1/2写到两张小纸片上，且把1/2用括号括上，然后用浆糊帖到字母X的上面。”

小马边说，边贴，并把贴好的样子举了起来：1/2

“第三步进行运算即可。”

小马讲到这儿，我抢着说：“主要内容马贵勇同学已作了讲解，下面的技术性东西由我介绍。”

说到这儿，先示意小马坐下，接着讲：“大家领会了这种办法的实质后，写小纸条，用浆糊的步骤即可省略，也就是说，写2式时只要不写X，直接把1/2写入即可。至于括号问题可以结合具体问题具体考虑，例如2X2中，将X换为1/2后，为了准确表达原来的意义，应将1/2加上括号，而对于3×1/2，因已准确表示3与1/2相乘，因此此处括号可以不写。”

讲到这儿，教室里响起了好几声如释重负的叹气声。听到这声音，我情不自禁的说：“马贵勇的这个办法真不错！：”

由于小马的这段小插曲，这节课的效果很好，下课以后，小马追着我兴奋地说：“想不到我还有点数学细胞！”听了他的话，我笑着说：“何止是有一点，你脑子的反应速度较快，还有一种执着的性格，这些都是学好数学的有利条件。”边说，我边从教案里找出一张纸条递给他：“这是一个在今天讲解基础上，又有深化的题目，请回去试一试。”

过了足有十几天，小马给我送来了一张纸，看着纸上的试题和下面的解题步骤，才想起这是前段给他布置的思考题。当我告诉他结果完全正确，且这是一道数学竞赛题时，小马高兴得涨红了脸，一股劲说：“都是我自己做的！”看着小马的背影，我情不自禁地自语道：“终于有了转机！”